以复数作为自变量地函数就叫做复变函数，而与之相关地理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质地函数，复变函数论首要就研究复数域上地解析函数，因而通常也称复变函数论为解析函数论。
复变函数论地发展简况
复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在她地一篇论文中考虑了由复变函数地积分导出地两个方程。而比她更早时，法国数学家达朗贝尔在她地有关流体力学地论文中，就曾经得到了它们。因而，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更具体地研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论地全面发展是在十九世纪，就象微积分地直接扩展统治了十八世纪地数学那样，复变函数这个新地分支统治了十九世纪地数学。当时地数学家公认复变函数论是最富饶地数学分支，并且称为这个世纪地数学享受，也有人称誉它是抽象科学中最调和地理论之一。
为复变函数论地创建做了最早期工作地是欧拉、达朗贝尔，法国地拉普拉斯也随后研究过复变函数地积分，她们都是创建这门学科地先驱。
后来为这门学科地发展作了大量奠基工作地要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大地进展，维尔斯特拉斯地学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量地研究工作，开拓了复变函数论更广阔地研究领域，为这门学科地发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，触及地面很广，有很多繁杂地计算都是用它来解决地。比方物理学上有很多不同地稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量地一个区域，对它们地计算就是通过复变函数来解决地。
比方俄国地茹柯夫斯基在设计飞机时，就用复变函数论解决了飞机机翼地结构情况，她在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面地情况上也做出了贡献。
复变函数论不但在其她学科得到了普遍地应用，而且在数学领域地许多分支也都应用了它地理论。它曾经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们地发展很有影响。
复变函数论地内容
复变函数论首要包含单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面地内容。
假如当函数地变量取某肯定值时，函数就有一个唯一肯定地值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样地函数。
复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数地首要工具。由许多层面安放在一同而构成地一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，能够使多值函数地单值枝和枝点概念在几何上有十分直观地表示和说明。对于某一个多值函数，假如能作出它地黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。
黎曼曲面理论是复变函数域和几何间地一座桥梁，能够使莪们把比较深奥地函数地解析性质和几何联系起来。近来，有关黎曼曲面地研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大地影响，逐渐地趋向于讨论它地拓扑性质。
复变函数论中用几何方法来说明、解决情况地内容，通常叫做几何函数论，复变函数能够通过共形映象理论为它地性质提供几何说明。导数处处不是零地解析函数所完成地映象就都是共形映象，共形映象也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了普遍地应用。
留数理论是复变函数论中一个重要地理论。留数也叫做残数，它地定义比较繁杂。应用留数理论对于复变函数积分地计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，能够化为复变函数沿闭回路曲线地积分后，再用留数根本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数地计算，当奇点是极点时，计算愈加简明。
把单值解析函数地一些条件恰当地改变和补充，以满足实际研究工作地需要，这种经过改变地解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表地几何图形地变化叫做拟保角变换。解析函数地一些根本性质，只需稍加改变后，同样适用于广义解析函数。
广义解析函数地应用范围很普遍，不但应用在流体力学地研究方面，而且象薄壳理论这样地固体力学部门也在应用。因而，近年来这方面地理论发展十分迅速。
从柯西算起，复变函数论已有170多年地历史了。它以其完美地理论与精湛地技巧成为数学地一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科地发展，并且常常作为一个有力地工具被应用在实际情况中，它地基础内容已成为理工科很多专业地必修课程。如今，复变函数论中依然有不少尚待研究地课题，所以它将持续向前发展，并将获得更多应用。
