研究图形地射影性质，即它们经过射影变换不变地性质。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特别地位，通过它能够把其她一些几何联系起来。
　　扩大空间和射影空间 　在一个欧氏（或仿射）平面上，两条直线通常相交于一点，但有例外，平行线不相交。这种例外，使某些定理显得繁杂。为了排除这种例外，在每条直线上添上一个理想点，叫做无穷远点，并假设平行直线相交于无穷远点。添上无穷远点地直线叫做扩大直线，它是闭地，象圆周那样，去掉它上面一点，不会使它分成两截。再假设不平行地直线有不同地无穷远点，这样，平面上一切无穷远点地汇合就叫做无穷远（直）线，而添上无穷远线之后地平面就叫做扩大平面。扩大平面也是闭地，去掉它上面一条直线，不会使它分成两块。
　　同样，三维欧氏（或仿射）空间中一切无穷远点地汇合叫做无穷远（平）面。添上无穷远面后地空间叫做扩d大空间，它也是闭地。在扩大空间，不但平行直线交于一个无穷远点,而且平行平面交于一条无穷远直线,一条非无穷远直线和一个与它平行地平面交于一个无穷远点。
　　假如再进一步，把无穷远元素（点、线、面）和非无穷远元素对等对待，不加区别，扩大空间就叫做射影空间。同样，从扩大直线和扩大平面能够得到射影直线和射影平面。在射影空间里，平行地概念消失了：两条共面直线或一个平面和一条直线总相交于一点，两个平面总相交于一条直线；此外,每两点总决定一条直线,每三个不共线点总决定一个平面，等等。
　　齐次坐标 　为了能用代数方法来处理射影(或扩大)空间地几何情况，需要引进齐次坐标（有时还引进射影坐标）。
　　仍从欧氏（或仿射）平面开端。设在平面上曾经树立了以O为原点地直角（或仿射）坐标系，(x,y)为一点p 地坐标。令则比值x₀:x₁:x₂完全肯定p 地位置,(x₀,x₁,x₂)就叫做p地齐次（笛氏）坐标。原点地齐次坐标明显能够写成(1,0,0)。设p不是原点O,则x₁,x₂不同时等于零；再令x₁,x₂固定,而令x₀向0接近，则p点沿一条经过O而斜率为x₂:x₁地直线l向远方移动。设表示扩大直线l上地无穷远点，则能够以为，当x₀趋于O 时,p趋于。因而,能够把(0,x₁,x₂)作为地齐次坐标，特别地，(0,1,0)和(0,0,1)顺次是x轴和y 轴上无穷远点地齐次坐标。这样,每一组不同时为零地三个数x₀,x₁,x₂ 都是扩大平面上一点地齐次坐标，而若ρ 为不等于零地数，则(ρx₀,ρx₁,ρx₂)和(x₀,x₁,x₂)代表同一点，下面引进记号(x)=(x₀,x₁,x₂),ρ(x)=(ρx₀,ρx₁,ρx₂)。
　　设 (u₁,u₂不都是0)是欧氏（或仿射）平面上一条直线地方程。在用齐次坐标表示时，它能够写成

， (1)

这也就是扩大直线地齐次方程，这直线上地无穷远点是(0,u₂,-u₁)。扩大平面上地无穷远直线方程明显能够写成x₀=0。这样，每一个齐次线性方程都代表扩大平面上一条直线。因为比值u₀:u₁:u₂完全肯定直线,(u)=(u₀,u₁,u₂)就叫做（齐次）线坐标。为了区别两种齐次坐标,上面引进地(x)＝(x₀,x₁,x₂)就叫做（齐次）点坐标。方程(1)叫做点(x)和线(u)地关联条件或接合（即(x)在(u)上，或(u)经过(x)）条件。
　　当不区别无穷远元素和非无穷远元素，使扩大平面成为射影平面时，(x)和(u)就顺次成为射影平面上地齐次点坐标和线坐标，它们都能够看作射影坐标地特款。
　　与此类似,能够得到扩大或射影直线上地点坐标(x)=(x₀，x₁)以及扩大或射影空间地点坐标(x)=(x₀,x₁,x₂,x₃)和面坐标(u)＝(u₀,u₁,u₂,u₃)。在扩大或射影空间中，点(x)和面(u)地关联条件是
　　下面，除非特别指明，所讨论地空间，就是三维射影空间，所讨论地点、线、面都是射影空间里地点，射影直线和射影平面。在射影空间，指定一个平面x₀=0作为无穷远面，就得到扩大空间（见射影坐标）。
　　对偶原理 　关联关系是射影平面和射影空间地根本关系。在关联条件(1)中,(x)和(u)有完全地对称性，这就使得直线和点能够在逻辑上获得对等地地位。它们叫做平面上地对偶元素。
　　设方程(1)里地u_j是固定地,它就代表一条直线；令满足(1)地x_j变动,就能够得到在该线上地一切点，这些点地汇合叫做以(u)为底地点列，而(1)也就是点列地方程。依据线性方程理论,能够看出,点列中每三点线性相关。即：若(y),(z)是点列中任意两个不同地点,则它地每一点(x)都能够写成(y)和(z)地线性组合(x)=λ(y) μ(z,)，其中λ，μ是齐次参数。在肯定意义上,λ,μ也能够作为点列中地射影坐标。另一方面,若令(1)中地x_j固定,而令u_j变动,就得到一切经过点(x)地直线(u),它们地汇合叫做以(x)为中心地线束，而(1)就是线束地方程,同时也是点(x)地方程。若(υ),(ω)是线束中任意两条直线，则线束地每一条直线(u)都能够写成

。

因为点列和线束中地元素都只依赖于两个齐次参数地比值，即依赖于一个独立参数，它们就都叫做一维根本形。
　　已给平面上一个以点和直线构成地图形，把其中地点和直线对换，就得到另一个图形，叫做所给图形地对偶。例如，点列（和一条直线关联地点地汇合）和线束（和一点关联地直线地汇合）是对偶形。三角形是自对偶形。
　　对于平面上一个只触及点与直线地关联关系地定理，假如把其中地点和直线及其关联关系对换，就得到一个新定理，叫做原定理地对偶。“假如原定理成立，则它地对偶定理也成立。”称它为对偶定理。这是因为，从代数观念看，这两个定理地证明方法是完全相同地。射影几何中，一个最早而又重要地定理是德扎格定理（图1）：两个三角形ABC和地对应顶点地联线经过同一点地充要条件是它们地对应边BC和；CA和；AB和地交点共线。这是个自对偶定理。假如不是在射影（或扩大）平面上而是在欧氏（或仿射）平面上，证明这个定理就需要区别并辨别处理其中有某些直线平行地各种特款。
　　三维空间也有对偶定理。在空间，点和面是对偶元素，直线是自对偶元素。线束是自对偶形。空间还有一个一维根本形是面束，这是经过同一条直线地平面地汇合。面束是点列地对偶。在同一个平面上地点地汇合叫做点场,经过同一点地平面地汇合叫做面把;点场和面把互为对偶。在同一个平面上地直线地汇合叫做线场，经过同一点地直线地汇合叫做线把；线场和线把互为对偶。点场，线场，面把，线把都是二维根本形。空间地点地汇合和空间地平面地汇合顺次叫做点空间和面空间，它们是互为对偶地三维根本形。在空间，三角形地对偶是三棱形。三棱形由经过同一点地三条不共面地直线所构成，这三条直线两两肯定三个不共线地平面。对于不共面地两个三角形，德扎格定理依然成立，但在空间，它不是自对偶定理。
　　通过代数来说明对偶原理是简捷了当地，但不是必须地。
　　空间地直线构成一个四维汇合（见直线几何）。
　　射影对应与射影变换 在一维根本形之间，能够通过投影和截影互相转化。
　　用{p}表示直线l上地点列,其中p表示点列中地任意点。设S为不在l上地一点，作直线p=SP，则当p在l上变动时，就得到以S为中心地线束{p},叫做点列{p}地投影，而{p}就叫做线束{p}地截影，p和 p叫做对应元素（图2）。

再设S₁为空间不在{p}地平面上地点,作经过S₁和p地平面π，就得到以SS₁为轴地面束{π}，它是{p}地投影,{p}是{π}地截影,p和π 是对应元素（图3）。若经过一系列地投影和截影,从一个一维根本形到另一个,这两个根本形就叫做射影相关，它们元素间地对应关系就叫做射影对应。一个射影对应所包含地两个变换叫做射影变换，它们互为逆变换。
　　在空间，通过投影和截影，点场和线把之间，线场和面把之间都能够互相转化，因而点场之间，线把之间，线场之间，面把之间也能够互相转化。至于二维根本形之间地其她转化，例如点场和线场之间地转化，则能够通过下面将要叙说地代数方法来肯定。同样，三维根本形之间地转化也要通过代数方法。总之，两个二维根本形之间或两个三维根本形之间，也都能够有射影对应和射影变换。
　　曾经指出，怎 样在点列，点场，点空间，以及线场和面空间里树立齐次坐标系。现实上，在任何一个一、二、三维地根本形里，都能够树立齐次（或叫射影）坐标（见射影坐标）。这样，射影对应或射影变换就能够通过齐次坐标间地满秩齐次线性变换来表示。例如，设(x),()为两个点场地齐次坐标,则射影变换(x)→()能够用三个变数地齐次线性变换

　 (2)

表示，式中det表示行列式；ρ是非零比例常数。解这个方程组，就得到逆变换()→(x)地方程。
　　射影变换地一个根本性质是保持关联关系，这等于说,它把线性相关地元素变成线性相关地元素。例如,点场之间地变换(2)就把点列变成点列，即直线变成直线，因而，它还把线束变成线束。由此又能够看出，只触及关联关系地每个定理（如德扎格定理）肯定代表一种射影性质，即经过射影变换不变地性质。换句话说，这种定理是一个射影定理。
　　有关射影对应，有一个根本定理。假如把一、二、三维地状况概括在一同,那就是：若在两个n维 (n=1,2,3)根本形中，辨别指定一组n 2个元素,式中各组里地每n 1个元素线性无关，则两个根本形间,有专注地射影对应，使两组元素按给定次序相对应。现实上，对于任意维射影对应，这个定理都成立。所谓“线性无关”，能够举例来说明：两个线性无关地点不重合，三个线性无关地点不共线，四个线性无关地点不共面。
　　射影变换也能够作用于扩大空间，但经过射影变换，无穷远元素能够变为非无穷远，非无穷远元素能够变为无穷远（例如平行平面能够变得不平行，不平行平面能够变得平行），因而，在未经扩大地欧氏或仿射空间里，射影变换不完全是一对一地。
　　交比 交比是一项根本地射影不变量。
　　依据有关射影对应地根本定理，一维根本形（例如，点列）间地一个射影对应是由三对对应元素专注地肯定地。由此能够推知，若在一个射影对应中，一个一维根本形中地四个元素E₁,E₂，E₃，E₄顺次对应于另一个一维根本形中地 则四元素组E₁，E₂，E₃，E₄和必有某种共性。交比就是这样地共性。
　　设在一个一维根本形中,元素E_j(i=1,2,3,4)地齐次坐标是，而用(E_j,E_j)表示行列式

则交比

(3)

交比经过射影变换（例如投影或截影）不变。
　　若在一个一维根本形中，随意选取三个不同地固定元素E₁,E₂,E₃，而对于任意元素p，设

则p 地位置和x 地一切值（包含∞）逐个对应。特别地，当p=E₁时,x=∞;p=E₂时,x=0；p=E₃时,x=1。因而, x能够作为根本形中地非齐次坐标。若再令 x=x₁/x₀，则(x₀,x₁)是根本形中地齐次坐标，称为射影坐标。特别地, E₁,E₂,E₃地坐标顺次是(0,1),(1,0)和(1,1)。这三个元素叫做射影坐标系地基元素。
　　在欧氏空间,若p₁,p₂,p₃,p₄是四个共线点,而用p_jp_j表示由p_j到p_j地有向线段长，则

　

　在欧氏平面，若p₁,p₂,p₃,p₄是经过同一点地四条直线，而用(p_jp_j)表示由p_j到p_j地有向角，则

　　四个元素有24种排列法，但对于通常位置地四个元素只有 6个不同地交比值，对于某种特别位置地四个元素,则六个交比值中至少有两个相等。例如，当交比(E₁,E₂,E₃,E₄)=-1时,这四个元素称为构成调和组。这时E₁和E₂,E₃和E₄都能够对调,元素偶E₁,E₂和E₃,E₄也能够对调，而交比不变；而且元素地其她次序所对应地交比值都是2或1/2。这表明,对于构成调和组地四个元素,变动其排列次序，只有3个不同地交比值，即－1, 2, 1/2。当然，在射影相关地根本形中，调和组对应于调和组。
　　在调和组E₁,E₂,E₃,E₄里，E₄也叫做E₃对于E₁,E₂地共轭；已给E₁,E₂和E₃,能够用直尺作图求E₄。图4表示,已给点列中任意三点p₁,p₂和p₃,求p₃对于p₁，p₂地调和共轭p₄地作图法。留神K,L能够是经过p₃地任意直线上地任意两点。还能够看出, 当p₃趋于p₂（或p₁）时，p₄也趋于p₂（或p₁）。因而，调和组中能够有三点重合。
　　直射变换与对射变换，射影群 　考虑一个平面上地二维射影变换。平面既是点场地底，又是线场地底，因而，它上面地一个射影变换能够把点变成点（或线变成线），也能够把点变成线（或线变成点），前一种叫做直射变换，后一种叫做对射变换。
　　直射变换地逆变换和它们地积（即两个直射变换接连作用所形成地变换）都是直射变换。因而，平面上一切直射变换构成群，叫做平面直射群。直射变换地特征是，它把共线地点变成共线地点，因而能够说，也把直线变成直线。一个直射变换能够用有关点坐标地线性变换(2)代表。假如它把直线(u)变成()，则通过关联条件可得

(4)

式中C_ij是с_ij在方阵(с_ij)中地余因子，σ是比例常数。能够以为，(2)和(4)代表着同一个直射变换，它们地区别只是在于：一个用了点坐标，一个用了线坐标。
　　与此类似,对射变换把共点地直线变成共线地点,把共线地点变成共点地直线，即把线变成点，把点变成线。两个对射变换之积是一个直射变换。对射变换不构成群，但是平面上一切直射变换和对射变换在一同构成群，叫做射影群。直射群是射影群地子群。但有时射影群这个名词也用来指直射群。
　　因为平面对射变换把点变成线，把线变成点，而又保持关联关系，它就体现了平面上地对偶原理。
　　同样，空间也有直射变换和对射变换，前者把点变成点，面变成面，后者把点变成面，面变成点；它们都把直线变成直线。空间一切直射变换构成直射群，一切直射变换和对射变换构成射影群。空间对射变换体现空间对偶原理。
　　直线上地一切点变点地射影变换构成直线上地射影群。
　　其她根本形里都有各自地射影群。
　　二次曲线与二次曲面 　扩大平面上地二次曲线

地齐次方程是

(5)

式中α_ij=α_jj表明(α_ij)是对称方阵。
　　在射影平面上,方程(5)所肯定地点地轨迹就叫做一条二次曲线。与此相对偶，含线坐标地齐二次方程

(6)

代表一个直线地汇合,也叫做二次曲线。为了区别(5)和(6),它们所代表地点集和线集顺次就叫做点（素）二次曲线和线（素）二次曲线。
　　用Г表示点二次曲线（5），并假设它是满秩地, 即det(α_ij)≠0。在它上面地一点(y)，Г地切线方程是

这些切线构成线二次曲线，式中A_ij是α_ij在方阵(α_ij)里地余因子。依照对偶原理，点曲线地切线地对偶是线曲线地切点（两条“相邻”直线交点地极限位置），因而满秩线二次曲线地切点构成一个点二次曲线。
　　设p为不在满秩点二次曲线Γ上地任意点，经过p作直线l交Г于p₁, p₂两点（图5）。设在l上，p点对于p₁，p₂地调和共轭是,即(p₁,p₂;p,)=-1。这样地两点p,叫做对于Г地共轭点。当p固定而令l转动时,p地共轭通常在一条直线p上，叫做p点对于Г地极线,而p就叫做直线p对于Г地极点。特别地，若p为Г上地点，它地极线p就是Г在p地切线。明显，若p地极线经过,则地极线经过p。若p和p地齐次坐标顺次为(x)和(u)，则

(7)

这是一种特别地对射对应，其特别性在于(α_ij)是对称方阵，它叫做对于Γ地配极对应。配极变换地平方，即它和自己地乘积是幺变换（或叫恒等变换）。配极对应也能够体现对偶原理。
　　二次曲线能够通过射影产生法产生。若在平面上有两个射影相关地线束（即线束间树立了一宗射影对应），它们有不同地中心，而且它们地公共直线不对应于自己，则两线束中对应直线交点地轨迹是一条满秩点二次曲线。用对偶方法能够产生线二次曲线。
　　射影几何中，有关二次曲线一个最早地著名定理是帕斯卡定理（图6）:满秩二次曲线地一个内接六边形ABCDEF地三对对边AB和DE,BC和EF,CD和FA交于一条直线上。倒转来，若一个六边形地三对对边交点在一条直线上，则六边形顶点在一个二次曲线上，但这个二次曲线能够退化成直线偶。帕斯卡定理在平面上地对偶叫做布里昂雄定理。
　　帕斯卡定理地一个特款是帕普斯定理：若A,B,C 和A┡,B┡,C┡辨别是两条直线上地三点，它们都不重合，则BC┡和B┡C，CA┡和C┡A，AB┡和A┡B交于共线地三点。
　　在三维射影空间,设(x),(u)顺次为齐次点坐标和面坐标,则含x_j地一个齐二次方程代表一个点（素）二次曲面，而含u_j地一个齐二次方程代表一个面（素）二次曲面。满秩点二次曲面地切面构成一个满秩面二次曲面，而满秩面二次曲面地切点构成一个满秩点二次曲面。
　　有关满秩二次曲面也有配极对应，它使极点和极面互相对应，是空间地特别对射对应。
　　直纹二次曲面也能够通过射影产生法产生。若两个射影相关地面束地轴是相错（即不共面）直线，则它们对应平面地交线构成一个直纹二次曲面地一族母线。
　　射影几何地子几何 　射影群中有许多重要子群，对应于每一个这样地子群有一种几何，叫做射影几何地子几何。
　　为了简单明白起见，下面所说地射影群就是直射群，所说地射影变换是指直射变换，而且首要分析平面上地状况。
　　在扩大仿射平面上，令无穷远线x₀=0不变地射影变换是仿射变换，用非齐次坐标表示，仿射变换地方程能够写成

(8)

一切仿射变换所构成地仿射群，是射影群地一个子群。仿射变换保持平行性。
　　在扩大仿射平面地无穷远线x₀=0上，取两个共轭虚点I₁(0,1,i),I₂(0,1,-i),式中i²=-1。令点偶I₁,I₂（即,x₀＝0）不变地仿射变换叫做类似变换；它们地方程能够写成 (8)地形状，但其中(с_ij)是正交方阵乘以一个常数:一切类似变换构成类似群（也叫欧氏群或度量群）,它是仿射群地子群,也是射影群地子群。有了I₁,I₂两点后，就能够通过射影方法在平面上引进距离和角地概念（见绝对形），类似变换把每个图形变成一个和它类似地图形，即一切长度按比例变化而角不变。这时扩大平面就能够叫做扩大欧氏平面,它上面地一切圆都经过I₁,I₂。这两点就叫做无穷远圆点。
　　在类似变换中，系数с_ij构成正交方阵 (即λ＝±1)地，叫做全等变换（或运动）；式中det(с_ij)＝1地叫做正常运动，det(с_ij)=-1地叫做失常运动。后者是一个正常运动和一个对直线反射之积。全等变换把每个图形变成一个和原图全等地图形。全等变换群（或运动群）是射影群、仿射群和类似群地子群。
　　已给一个空间S 以及作用于它上面地变换所构成地一个群G,就能够辨别,在S里,哪些图形性质经过G中地变换不变,研究这些性质地几何就叫做属于G地几何。若G₁是G地子群，属于G₁地几何就叫做属于G地几何地子几何。射影几何和仿射几何顺次属于射影群和仿射群，而欧氏几何则能够以为属于类似群,但又部分地属于全等群;因为它既研究类似图形,又研究全等图形。欧氏几何是仿射几何地子几何，它和仿射几何又都是射影几何地子几何；因为它研究图形地度量性质(长度、角度、面积、……)，它也叫做度量几何。
　　群越大，不变性质越少而越带普遍性；群越小，不变性质越多而越丰厚具体。这样，就能够通过不同地群之间地关系来明白理解不同地几何之间地关系。
　　空间S地图形还能够通过变换群G分类：把一切能够经过G地变换互相转化地图形归入同一个等价类。例如，一切满秩实迹（即有实点地）二次曲线都互相射影等价，即属于同一个射影类，它们却分为三个仿射类：和无穷远线不相交（于实点）地是椭圆，相切地是抛物线，相交于两（个实）点地是双曲线。每一个仿射类里地二次曲线又能够分为无数度量类；例好象是椭圆，两个半轴长比值不同地就不类似，半轴长不辨别相等地就不全等。
　　两种非欧几何，即椭圆几何和双曲几何都是射影几何地子几何。在射影平面上，把虚迹二次曲线变为自己地一切射影变换构成射影群地一个子群，叫做椭圆（运动）群；属于它地几何就是椭圆几何，附有那个不变二次曲线地射影平面叫做椭圆平面。另一方面，把实迹二次曲线变为自己，并把它地内部（即地点地汇合）变为内部地射影变换也构成射影群地一个子群，叫做双曲（运动）群；属于它地几何就是双曲几何；那个二次曲线内部就是双曲平面。非欧平面上地长度和角度概念也能够通过射影方法来引进。
　　射影几何另外一个重要子几何是闵科夫斯基几何。把点偶(0,1,1)和(0,1,-1)（即）变为自己地一切射影变换构成洛伦兹群，属于它地几何就是闵科夫斯基几何。闵科夫斯基几何为狭义相对论提供了天然地几何说明;四维闵科夫斯基几何就是四维时空(见闵科夫斯基空间)。
　　上面所论地射影群地每个子群都有一个不变地图形（其中有些是虚迹图形），如对于仿射群地x₀=0，对于类似群地，对于椭圆群地等。这种不变图形就叫做相应子几何地绝对形。
　　以上理论都能够推广到三维以致任意维空间。在三维空间，欧氏几何地绝对形是，它叫做无穷远虚圆；因为扩大欧氏平面地一切球面都经过它。空间椭圆几何，双曲几何和闵科夫斯基几何地绝对形顺次是。
　　公理系统 　上面把射影几何树立在欧氏空间地基础上，但这不是必要地。它能够树立在不触及度量概念地公理系统上。
　　以三维射影几何为例，在那里，根本元素是点，直线和平面。射影几何公理地表达形式是多种多样地，通常能够分为三组。第一组叫做关联公理：例如，两点肯定一条经过它们地直线，三个不共线点肯定一个经过它们地平面，两个平面交于一条直线等等。第二组叫做次序公理：例如，已给直线上三点A,B,C,直线上必有一点D，使A,B和C,D互相隔离等等。第三组只含一个公理,即连续公理。射影直线上地连续公理实质上就是规定：去掉直线上一点以后，直线上剩下来地部分满足实数轴上地戴德金连续公理。
　　依据这些公理，便能够通过纯演绎方法树立起一个完整地实射影几何体系，包含射影坐标。所谓实射影几何，就是上面所讨论地射影几何，其中点地坐标是实数。
　　不同维地射影空间，能够在关联公理里加以区别。
　　只满足关联公理地空间能够称为通常射影空间；在那里面，依然有射影变换，其相应地几何能够称为通常射影几何。假如把关联公理要求降低，也能够得到更通常地射影空间和射影几何。当然，在一个通常射影空间里，实射影几何地定理不完全成立。
　　也能够一开端就通过代数方法来树立射影几何。仍以实三维空间为例，设想每一个非零四实数组(x₀,x₁,x₂,x₃)为一点,成比例地四数组代表同一点；再假设线性相关地三点属于同一条直线，线性相关地四点属于同一个平面。这样就把实射影几何完全树立在实数域地基础上了。
　　用n 1数组替代四数组来表示点，就得到n维射影空间及其射影几何。
　　若令n 1数组(x₀,x₁,…,x_n)里地x_j属于某一个数域F，所得到地是一个通常射影几何。例如当F是复数域时,次序公理和连续公理都不能满足，得到地是很重要地复射影几何。上面从（实）仿射空间得到（实）欧氏空间时，就曾经利用了虚点I₁,I₂。
　　若F是一个有限域,所得到地通常射影空间只有有尽多个点，叫做有尽射影空间。例如，若F是特征等于3地模域，则射影平面上有13个点和13条线,每条线上有4个点,经过每点有4条线。假如要通过公理系统来树立这个空间,就要在关联公理中规定：每条线上不能有多于4个点。
　　简史 　射影几何地某些内容，公元前就发觉了，但到19世纪上半叶才有短暂地突破。到19世纪，它才形成独立体系，最后臻于完备。
　　基于绘图学和建筑学地需要，古希腊几何学家就开端研究透视法,也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面地截线来研究。在4世纪帕普斯地著作中，出现了帕普斯定理。
　　在17世纪初期，J.开普勒最早引进了无穷远点概念(1604)。稍后，G.德扎格引进了无穷远点，除证明了上面提到地她地著名定理(1639)外，还引进了交比，调和比,以及对于二次曲线地极点和极线等概念,证明了交比经过透视不变。在她地影响下，B.帕斯卡也研究了相关射影几何地情况，并发布了她地著名定理（1640）。这些定理地特别之处是概括性强，只触及关联性质而不触及度量性质（长度、角度、面积）。但她们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格地射影方法，她们也没有认识到，自己地研究方向会招致产生一个新地几何体系射影几何。她们所用地是综合法，随着解析几何和微积分地创立,综合法让位于解析法,射影几何地探讨也中断了。
　　射影几何地首要奠基人是 19世纪地J.-V.彭赛列。她是画法几何地开创人G.蒙日地学生。蒙日带动了她地许多学生（C.－J.布里昂雄是其中之一）用综合法研究几何。因为德扎格和帕斯卡等地工作被长期忽视了，前人地许多工作她们不明白理解,不得不重新再做。1822年,彭赛列发布了射影几何地第一部系统著作。她是认识到射影几何是一个新地数学分支地第一个数学家。她通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，J.施泰纳研究了利用简单图形产生较繁杂图形（例如二次曲线和二次曲面）地方法，线素二次曲线概念也是她引进地(1832)。为明白理解脱坐标系对度量概念地依赖,K.G.C.von施陶特通过几何作图来树立直线上地点坐标系(1847)，进而使交比也不依赖于长度概念。因为忽视了连续公理地必要性，她树立坐标系地做法还不完善，但却迈出了决定性地一步。
　　另一方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是A.F.麦比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，类似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比地度量公式等(1827)。接着，J.普吕克引进了另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线地方程，无穷远圆点地坐标。她还引进了线坐标概念，于是从代数观念就自然得到了对偶原理，并得到了有关通常线素曲线地一些概念。
　　在19世纪前半叶地几何研究中，综合法和解析法地争论不同寻常剧烈；有些数学家完全否定综合法，以为它没有前途，而一些几何学家，如M.沙勒，E.施图迪和施泰纳等,则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人,如彭赛列，固然供认综合法有其局限性，在研究进程中也难免借助于代数，但在著作中通常用综合法来论证。她们地勤奋使综合射影几何形成一个优美地体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些情况论证直接而简明。1882年，M.帕施建成第一个严格地射影几何演绎体系。
　　把各种几何和变换群相联系地是F.克莱因，她在埃尔朗根纲要(1872)中提出了这个观念，并把几种经典几何看作射影几何地子几何，使这些几何之间地关系变得十分明朗。这个纲要产生了宏大影响。但有些几何，如黎曼几何,不能归入这个分类法。后来é嘉当等在拓广几何分类地方法中作出了新地贡献。
　　参考书目
　方德植、陈奕培编：《射影几何》，高等教育出版社，北京，1983。
　梅向明等编：《高等几何》，高等教育出版社，北京，1983。
　O.Veblen and J.W.Young,Projective Geometry,Vol.1～2, Ginn and Co.,New York,1938.
　N.V.Efimov, Higher Geometry,Mir. Publishers,Moscow, 1980.